Persamaan-persamaan Dasar dalam Fluida Bergerak (Part IV)

Persamaan Energi (Euler)

Bro and sist, kali ini penulis akan lanjut membahas persamaan-persamaan dasar dalam fluida bergerak, yakni Persamaan Energi (Euler).

Apa yang dimaksud dengan energi ? Yups, energi adalah kemampuan untuk melakukan usaha. Fluida yang bergerak maupun diam memiliki energi. Jika tidak ada energi sebuah usaha tidak akan terjadi. Air yang mengalir (bergerak) dengan kecepatan tertentu di dalam pipa memiliki energi, yakni energi kinetik (EK = 1/2 mv²).

Air yang diam pun memiliki energi, misalnya air yang terdapat dalam tangki atap (roof tank) mempunyai energi yakni energi potensial (EP =mgh). Energi potensial sendiri adalah energi yang dimiliki benda karena kedudukannya. Energi ini tersembunyi dalam benda, tetapi jika diberi kesempatan energi ini dapat dimanfaatkan. Air yang diam dalam roof tank memiliki energi potensial, tapi  ketika krang-nya diputar (dibuka) dan air mengalir ke bawah maka akan menjadi energi kinetik. Gabungan dari energi potensial dan energi kinetik disebut dengan energi mekanik.

Pada pembahasan kita yang lalu telah dibahas Persamaan Bernaulli. Dimana persamaan tersebut dijabarkan berdasarkan teorema usaha-energi mekanik.

p₁ + ½ p₁v₁² + pgh₁ = p₂ + 1/2p₂v₂² + pgh₂

Inti Persamaan Bernoulli yaitu bahwa jumlah dari tekanan (p), energi kinetik per satuan volum (1/2 pv²), dan energi potensial per satuan volum (pgh) memiliki nilai yang sama pada setiap titik sepanjang suatu garis arus.

Next, masing-masing suku dalam persamaan Bernoulli yakni energi kinetik, energi potensial, dan tekanan dapat ditafsirkan sebagai bentuk energi. Jumlah dari ketiga suku tersebut sebagai tinggi energi total.

Persamaan energi dalam aliran zat cair diturunkan berdasarkan persamaan Euler. Persamaan ini menggunakan pendekatan hukum kedua dari Newton tentang gerakan dalam bentuk gaya yang sama dengan massa kali percepatan (F = ma). Berikut kita akan melihat penurunan persamaan energi (euler) yang diturunkan dalam bentuk diferensial.

Agar lebih jelas, kalian bisa lihat gambar dibawah ini yang menunjukkan elemen silinder dari tabung arus yang bergerak sepanjang garis arus. Gaya yang bekerja adalah gaya akibat  tekanan di ujung silinder dan gaya berat.

                          

Berikut penurunan Persamaan Euler :

Persamaan Euler ini diasumsikan :

1        Fluida ideal

2        Fluida homogen dan incompresibel

3        Pengaliran bersifat kontiniu di sepanjang garus arus

4        Kecepatan aliran bersifat merata dalam suatu penampang

5        Gaya yang hanya bersifat gaya berat dan tekanan

6        Fluida tanpa gesekan

7        Mengikuti garis aliran

Untuk aliran stedi zat cair ideal dan tak mampu mampat. Integrasi sepanjang garis arus dari persamaan Euler akan menghasilkan:

Bila p konstan, maka diperoleh persamaan Bernoulli. Persamaan ini merupakan persamaan Bernoulli untuk aliran stedi satu dimensi.

Persamaan energi sepanjang garis arus diantara penampang 1 dan 2 adalah

 

Bagaimana persamaan energi untuk fluida nyata (viskos) ?

Fluida nyata merupakan keadaan dimana kerugian atau ketakmampubalikan diperhitungan. Viskositas adalah sifat fluida yang menyebapkan tegangan geser di dalam fluida yang bergerak. Selain menyebapkan tegangan geser di dalam fluida yang bergerak, viskositas merupakan medium bagi hadirnya kerugian-kerugian atau ketakmampubalikan. Ketika kita membahas persamaan-persamaan lainnya di waktu yang lalu, tidak diperhitungkan kerugian dalam aliran fluida, tapi kenyataan kerugian itu pasti ada dalam berbagai situasi aliran, walaupun itu hanya kerugian kecil. Jika membahas kerugian-kerugian yang timbul dalam berbagai situasi aliran, berarti sudah masuk dalam ranah fluida nyata.                                    

Oleh karena itu persamaan energi untuk fluida nyata (viskos) memperhitungkan kerugian yakni kehilangan energi :

         

                                           

 Kira-kira pembahasan kita tentang persamaan energi (euler) seperti itu. Nanti kita akan lihat persamaan-persamaan lainnya di waktu dan kesempatan yang berbeda. (*)

BERSAMBUNG ...........................................................

Persamaan-persamaan Dasar dalam Fluida Bergerak (Part III)

3. Persamaan Bernoulli

HELLO GUYS, kali ini kita akan melanjutkan pembahasan kita tentang Persamaan-persamaan Dasar dalam Fluida Bergerak yakni, Persamaan Bernoulli. Kalian tentunya sudah tahu prinsip sederhana yang sudah diajarin di bangku SD bahwa air mengalir dari tempat yang tinggi ke tempat yang rendah (secara gravitasi). Selanjutnya Anda perhatikan gambar penampang pipa di bawah ini, apakah mungkin aliran air (fluida) berpindah dari titik 1 ke titik 2, secara titik 1 lebih rendah dari titik 2 ?

Pertanyaan ini yang coba dijawab oleh seorang ahli fisika dan matematika dari Swiss, Daniel Bernoulli (1700-1782). Untuk menjawab ketidakmungkinan pada gambar diatas menggunakan teorema tentang usaha-energi mekanik.

W = EP₁ – EP ₂

W = EK ₂ – EK ₁

EP₁ – EP₂ = EK₂ – EK₁

EP₁ – EK₁ = EP₂ + EK₂

mgh₁ + 1/2mv₁ = mgh₂ + 1/2m v₂²

Fluida dapat berpindah dari 1 ke 2 karena ada usaha (W F∆s). Kalau dikaitkan dengan Hukum Kekekalan energi mekanik W bisa negatif. Agar W Positif haruslah beda gaya ∆F = F₁ – F₂. F = p A, agar ∆F positif maka, ∆F p₁A₁ – p₂-A₂. Dari sini Bernaulli mengetahui usaha positif yang dilakukan fluida, yakni tekanan p (p = F/A).

Melalui terorema usaha-energi mekanik yang melibatkan tekanan (p), dan kecepatan aliran fluida (v) serta ketinggian (h), Bernoulli menurunkan persamaan yang menghubungkan ketiganya :

p₁ + ½ p₁v₁² + pgh₁ = p₂ + 1/2p₂v₂² + pgh₂

Persamaan diatas juga dapat ditulis seperti ini

p + 1/2pv2 + pgh = konstan

Persamaan Bernoulli menyatakan bahwa jumlah dari tekanan (p), energi kinetik per satuan volume (1/2pv²), dan energi potensial per satuan volume (pgh) memiliki nilai yang sama pada setiap titik di sepanjang garis arus.

Bagaimana dengan fluida yang mengalir dalam pipa mendatar (h1 = h2) ?

Dalam pipa yang mendatar jelas tidak terdapat perbedaan ketinggian diantara bagian-bagian fluida.

p₁ + ½ pv₁² = p² + 1/2pv₂²

p₁ – p₂ = 1/2p (v₂² – v₁²)

Dari persamaan tersebut jelas tergambar bahwa jika v2 < v1 maka p₁ > p₂. Artinya, di tempat yang kelajuan alirnya besar, tekanannya kecil. Sebaliknya di tempat yang kelajuan alirnya kecil, tekanannya besar. Pernyataan ini dikenal dengan asas Bernoulli.

So guys, begitulah penjelasan tentang persamaan Bernoulli. Aplikasi persamaan Bernoulli dalam kehidupan sehari-hari contohnya air yang mengalir dari pipa utama milik PDAM dan masuk menuju pipa sambungan ke rumah, dapat langsung menuju kamar mandi di lantai II tanpa bantuan pompa jika tekanannya besar.

Perlu kalian ketahui bahwa persamaan ini tidak berlaku apabila terjadi penambahan energi atau kehilangan energi (Hukum Pertama Termodinamika). Apabila terjadi kehilangan energi berarti tekanan juga berkurang. Kehilangan energi dan terjadi penurunan tekanan bahasa populernya disebut head losses. Di lapangan jarang sekali ditemukan ada pipa distribusi air minum yang tidak mengalami head losses. Dalam perencanaan jaringan perpipaan itu selalu menghitung total head loss untuk mencari spesifikasi pompa yang memenuhi head total dan kebutuhan air warga, apabila mengalirkan air secara gravitasi (dari tempat tinggi ke tempat rendah) tidak memungkinkan. Oleh karena itu, perlu digunakan bantuan pompa untuk “mengangkat” air.

Penurunan tekanan (kehilangan energi) sendiri bisa disebapkan oleh terjadinya gesekan antara fluida (air minum) dengan dinding pipa, akibat kekasaran pada dinding pipa serta viskositas. Di lapangan pipa yang dipakai untuk mengalirkan air minum akan menjadi semakin kasar seiring berjalannya waktu, karena perkaratan, adanya lumut dan pengendapan bahan pada dinding pipa. Kekasaran dinding pipa berbanding lurus dengan waktu (semakin tua umur pipa semakin kasar dan terjadinya gesekan semakin besar). Selain gesekan, pada percabangan pipa sering terjadi head losses. Penyambungan dari pipa besar ke pipa yang diameternya lebih kecil, juga memungkinkan terjadi head losses. Contoh kasus lainnya Kalau kita ikuti berita di koran, kebocoran air PDAM Jayapura selain pencurian air, kebanyakan karena pipa yang dipakai sudah berumur (pipa bekas zaman Belanda) jadi sudah karat serta mengalami kebocoran, kalau hujan mengalami sliding dan akhirnya patah. Pasti kalau pipa sudah berumur dan berkarat kehilangan energinya besar, sehingga tidak maksimal dalam mendistribusikan air minum.

Itu hanya gambaran secara singkat mengenai head losses, nanti kita akan bahas secara terpisah di persamaan lainnya di kesempatan yang berbeda (*).

Keterangan Simbol :

p = tekanan (pascal/Pa)

v = kecepatan (ms^-1)

g = gravitasi (9,8 m/s²)

EP = energi potensial (Joule/J)

h = ketinggian (m)

EK = Energi kinetik (Joule/J)

W = Usaha (Joule/J))

BERSAMBUNG.......................................................................

Persamaan-persamaan Dasar dalam Fluida Bergerak (Part II)

2. Persamaan Momentum

You know guys, partikel-partikel aliran fluida mempunyai momentum akibat kecepatan aliran yang berubah baik dalam besarannya maupun arahnya, maka momentum partikel pun akan berubah. Jika berbicara mengenai suatu benda (partikel) yang mempunyai besaran (angka) dan arah, pasti itu adalah besaran vektor. Yups, momentum adalah besaran vektor.

Apa yang dimaksud dengan momentum ? Momentum adalah ukuran kesukaran untuk memberhentikan suatu benda yang sedang bergerak. Makin sukar memberhentikan benda, makin besar momentumnya. Kesukaran memberhentikan suatu benda bergantung pada massa dan kecepatan. Momentum diberi lambang P, didefenisikan sebagai hasil kali massa m dan kecepatan v (P = m.v). Arah momentum adalah searah dengan arah kecepatan.

Satuan momentum = satuan massa x satuan kecepatan

                             = (kg) . (m s^-1)          

Satuan besaran momentum adalah kg m s^-1, dengan dimensi momentum [M] [L] [T]^-1.

Perubahan yang terjadi pada kecepatan aliran fluida baik dalam besaran maupun arahnya tidak terjadi begitu saja, namun ada gaya yang bekerja didalamnya. Apabila hal tersebut dikaitkan dengan Hukum II Newton (F = m.a), bisa dikatakan diperlukan gaya untuk menghasilkan perubahan tersebut yang sebanding dengan besarnya kecepatan perubahan momentum. Hukum II Newton, F = m.a, ini hanya berlaku khusus untuk massa benda yang konstan (seperti pergerakan aliran air di dalam pipa/tabung yang massanya konstan). Kalau pada kasus massa benda yang berubah itu menggunakan, F =∆p/∆t, misalnya massa benda yang bergerak dengan kelajuan mendekati kelajuan cahaya (3 x 10⁸ m/s) tidaklah konstan melainkan bergantung pada kelajuannya, tapi hal seperti itu jarang terjadi di kenyataan. Misalnya, manusia bergerak dengan kelajuan mendekati kelajuan cahaya ke suatu titik tujuan, ditakutkan massa tubuhnya berkurang karena sebagian anggota tubuhnya hilang (just kidding)

Untuk menentukan besarnya kecepatan perubahan momentum di dalam aliran fluida, aliran dengan luas permukaan dA serta komponen-komponen gaya yang bekerja dalam aliran fluida dilukiskan seperti pada gambar di bawah ini :

Dalam hal ini dianggap bahwa aliran yang melalui tabung arus adalah permanen. Momentum melalui tabung aliran dalam waktu dt adalah :

dmv = P.v. dt.v. dA

Momentum : P.V².dA = P.A.V² = P.Q.V

Berdasarkan hukum Newton II :

F = m.a

F = P. Q (V₂ – V₁)

Karena momentum merupakan besaran vektor, perhitungan komponen-komponen menggunakan rumusan yang sering dipakai dalam perhitungan vektor.

Untuk masing-masing komponen seperti tertera dalam gambar diatas (X,Y,Z) :

F_X = P.Q (V_X2 . V_X1)

F_Y = P.Q (V_Y2 . V_Y1)

F_Z = P.Q (V_Z2 .V_Z1)

Next, mencari resultan komponen gaya yang bekerja pada fluida. Pada prinsipnya, gaya yang bekerja pada suatu benda bukanlah gaya tunggal, melainkan beberapa gaya. Gabungan dari gaya-gaya yang bekerja pada suatu benda ini yang disebut dengan resultan gaya. Resultan komponen gaya yang bekerja pada fluida :

So guys, pembahasan mengenai persamaan momentum kira-kira seperti itu. Nanti di lain kesempatan penulis mencoba membahas persamaan lainnya yang ada kaitannya dengan fluida bergerak atau aliran fluida. See you next time and have a nice day (*).

BERSAMBUNG ...................................................

Persamaan-persamaan Dasar dalam Fluida Bergerak (Part I)

Beberapa waktu yang lalu penulis pernah membahas sebuah topik mengenai Perbedaan Aliran Laminar dan Turbulen dalam Saluran Terbuka. Pembahasan kita pada waktu itu lebih terfokus pada fluida bergerak atau fluida yang bergerak terus terhadap sekitarnya (aliran airnya saja yang bergerak sementara wadahnya tidak ikut bergerak), ibarat kereta saja yang bergerak sementara relnya diam (statis). Kalau ekskalator (tangga berjalan), orangnya diam sementara ekskalator yang bergerak.

Membahas fluida bergerak akan sangat tidak afdol kalau tidak membahas persamaan-persamaan  dasar yang berlaku atau sering diterapkan dalam fluida bergerak. Persamaan-persamaan tersebut antara lain sebagai berikut :

1. Persamaan Kontinuitas

Persamaan ini pada prinsipnya menekankan bahwa jika suatu fluida mengalir dengan aliran tunak (kecepatan v di suatu titik konstan terhadap waktu), maka massa fluida yang masuk ke salah satu ujung pipa haruslah sama dengan massa fluida yang keluar pada ujung pipa lainnya selama selang waktu yang sama. Agar lebih paham kalian bisa lihat gambar di bawah ini.

Gambar. Fluida yang Mengalir pada Suatu Bagian Pipa 

Keterangan :

A ₁ dan A₂ = luas penampang pipa 1 dan 2 (diameter pipa berbentuk lingkaran, A= π r²)

V₁ dan V₂ = Kecepatan partikel pada 1 dan 2

P₁ dan P₂ =  masa jenis (kg/m³) pada 1 dan 2, rumusnya P = m/v

Fluida mengalir masuk ke pipa dari bagian 1 dan akan keluar pada ujung pipa bagian 2. Massa fluida yang masuk pada bagian 1 selama selang waktu ∆t adalah :

m₁ = P₁ V₁

      = P₁ (A₁ x₁)

m₁ = P₁A₁ (v₁ ∆t)

Massa fluida yang keluar pada ujung pipa bagian 2 sama dengan massa fluida yang masuk pada ujung bagian 1 

m₂ = P₂ A₂ (v₂ ∆t)

Massa fluida yang masuk pada ujung bagian 1 sama dengan yang keluar pada ujung bagian 2

m₁ = m₂

P₁ A₁ v₁ ∆t = P₂ A₂ v₂ ∆t

Dengan membagi kedua ruas dengan ∆t akan diperoleh :

P₁ A₁ v₁ = P₂ A₂ v₂

Persamaan tersebut yang disebut dengan persamaan kontinuitas

Fluida yang termampatkan itu massa jenisnya konstan. Mengapa konstan ? Aliran termampatkan yang mengalir di dalam pipa massa jenisnya (P = m/v) konstan karena tidak ada fluida yang keluar melalui dinding pipa otomatis massa tetap serta debitnya konstan, sehingga persamaan diatas dapat ditulis seperti ini :

A₁ v₁ = A₂ v₂

Secara umum dinyatakan :

A₁ v₁ = A₂ v₂ = A₂ v₃ = .......= konstan

Telah kalian ketahui di pembahasan sebelumnya tentang debit (Q) bahwa, Q = Av. Maka persamaan diatas juga dikenal sebagai persamaan debit konstan.

Q₁ = Q₂ = Q₃ = .......= konstan

Dalam konteks fluida termampatkan, debit fluida di titik mana saja selalu konstan.

Well, kira-kira seperti itulah persamaan kontinuitas yang intinya menekankan bahwa massa fluida yang masuk ke salah satu ujung pipa haruslah sama dengan fluida yang keluar pada ujung pipa lainnya selama selang waktu yang sama. Kalau yang masuk dan keluar tidak sama mungkin karena adanya kebocoran pada pipa, berarti itu bukan persamaan kontinuitas (persamaan lain yang nanti akan dibahas). Kalau dalam konteks sistem penyediaan air minum (SPAM), hal seperti itu disebut dengan kebocoran air dimana terjadi perbedaan antara debit air yang masuk (diproduksi) dan jumlah/debit air yang sampai di rumah pelanggan (konsumen), yang disebapkan oleh pipa distribusi yang bocor,dll.

Guys, pembahasan kita cukup sampai disini dan nanti di kesempatan yang lain penulis akan mencoba membahas persamaan-persamaan lain yang berlaku dalam  fluida bergerak. (*)

BERSAMBUNG ...............................................................