Perhitungan Hujan Rencana dengan Distribusi Probabilitas Log Pearson Type III

Kemarin kita sudah membahas perhitungan hujan rencana dengan metode Distribusi Probabilitas Log Normal. Kali ini kita akan mencoba menghitung hujan rencana beberapa periode ulang tahun (T) dengan metode Distribusi Probabilitas Log Pearson Type III.

Nah rumus yang digunakan dalam metode Distribusi Probabilitas Log Pearson Type III adalah sebagai berikut :

               _____

Log X_T = Log X  + (K_T x S Log X)

Keterangan rumus :

Log X_T = nilai logaritma hujan rencana dengan periode ulang T

_____

Log X_T = nilai rata-rata dari log X =    Σ Log Xi

                                                             ______

                                                                  n

S Log X = Deviasi standar dari Log X =                                                           ^0,5                        

                                                                           S Log X =  Σ(Log Xi – LogX)²       

                                                                                            _____________           

                                                                                                       10 -1              

K_T = variabel standar, besarnya tergantung koefisien kepencengan (Cs atau G pada tabel frekuensi K_T untuk Distribusi Log Perason Type III)

Contoh Perhitungan !

Untuk contoh perhitungan kita masih gunakan data curah hujan maksimum (Xi) yang digunakan pada pembahasan sebelumnya dan kita akan coba hitung hujan rencana periode ulang 2 tahun, 5, 20, 50 dan 100 tahun menggunakan metode Distribusi Probabilitas Log Pearson Type III

Tahun	Xi (mm)	Log Xi	____ ( Log Xi – Log X )2	____ ( Log Xi – Log X )3
2004	134	2,1271	0,0049	-0,00034
2005	173	2,2380	0,0016	0,00006
2006	241	2,3820	0,0341	0,00632
2007	131	2,1172	0,0063	-0,00050
2008	121	2,0827	0,0130	-0,00149
2009	126	2,1003	0,0093	-0,00090
2010	106	2,0253	0,0295	-0,00507
2011	138	2,1398	0,0032	-0,00018
2012	234	2,3692	0,0296	0,00509
2013	245	2,3891	0,0368	0,00708
Σ	1649	21,9711	0,1688	0,01005
Rata-rata	164,9	2,1971	0,0168	0,00100

*) Hitung nilai rata-rata Log X :

____

Log X = Σ Log Xi

              ______

                   n

           =   21,9711

              ________

                    10

          = 2,1971

*) Hitung S log X (deviasi standar dari Log X)

                                                                

Pertama cari nilai Cs terlebih dahulu :*) Hitung nilai K_T

                                      ____

Cs =      n x Σ(Log Xi – LogX) ³                 10 x 0,00100               

            _________________ =      _________________      =   0,054

                (n-1) (n-2) (S Log X)³       (10-1) (10-2) (0,1369)³

Nilai Cs yang sudah didapat dipakai untuk mencari nilai T pada lampiran Tabel Frekuensi KT untuk Distribusi Log Pearson Type III, maka didapat :

T = 2 dan Cs = 0,541 maka nilai KT = - 0,018

T = 5 dan Cs = 0,541 maka nilai KT = 0,837

T = 20 dan Cs = 0,541 maka nilai KT = 1,685

T = 50 dan Cs = 0,541 maka nilai KT = 2,108

T = 100 dan Cs = 0,541 maka nilai KT = 2,401

Hujan rencana untuk periode ulang 2 tahun (X₂) :

                   _____

1. Log X₂ = Log X  + (K_T x S Log X) = 2,1971 + (-0,018 x 0,1369)

            = 2,1946

X₂ = 156,53 mm

2. Hujan rencana untuk periode ulang 5 tahun (X₅) :

               _____

Log X₅ = Log X  + (K_T x S Log X) = 2,1971 + (0,837 x 0,1369)

            = 2,3116

X₅ = 204,92 mm

3. Hujan rencana untuk periode ulang 20 tahun (X₂₀) :

               _____

Log X₂₀ = Log X  + (K_T x S Log X) = 2,1971 + (1,685 x 0,1369)

            = 2,4277

X₂₀ = 267,73 mm

4. Hujan rencana untuk periode ulang 50 tahun (X₅₀) :

               _____

Log X₅₀ = Log X  + (K_T x S Log X) = 2,1971 + (2,108 x 0,1369)

            = 2,4856

X₅₀ = 305,91 mm

5. Hujan rencana untuk periode ulang 100 tahun (X₁₀₀) :

                  _____

Log X₁₀₀ = Log X  + (K_T x S Log X) = 2,1971 + (2,401 x 0,1369)

               = 2,5257

X₁₀₀ = 335,50 mm

Demikianlah hasil perhitungan hujan rencana dengan metode Distribusi Probabilitas Log Pearson Type III, untuk periode ulang 2 tahun, 5, 20, 50 dan 100 tahun. (*)

Perhitungan Ulang Distribusi Probabilitas Gumbel

Beberapa waktu lalu telah dibahas perhitungann hujan rencana dengan Distribusi Probabilitas Gumbel tapi tidak secara gamblang dan periode ulang tahunnya pun tidak sinkron dengan beberapa periode ulang yang dibahas pada metode berikutnya yakni 2 tahun, 5, 20, 50 dan 100 tahun. Oleh karena itu harus disinkronkan periode ulangnya agar bisa dilakukan perbandingan antar empat metode yang digunakan dalam perhitungan hujan rencana.

Nah, berikut rumus untuk perhitungan Distribusi Probabilitas Gumbel di bawah ini. Kelihatannya agak berbeda dari rumus sebelumnya, itu cuma kelihatannya saja tapi sebenarnya sama saja, karena rumus sebelumnya merupakan penjabaran dari rumus ini

         ___

X_T =   X  +  S x K

dimana :

X_T = hujan rencana (mm)

_

X = nilai rata-rata dari hujan

S = Standar deviasi dari data hujan

K = Faktor frekuensi Gumbel :    K =    Y_t – Y_n

                                                              _______

                                                                  S_n

Y_t = reduced variate (lampiran tabel)

S_n = reduced standar (lampiran tabel)

Y_n = reduced mean (lampiran tabel)

Contoh Perhitungan 
Diketahui data hujan harian maksimum 10 tahun pengamatan seperti tertera dalam tabel. Hitunglah besar curah rencana dengan periode ulang 2 tahun, 5, 20, 50 dan 100 tahun berdasarkan Distribusi Probabilitas Gumbel. 

Tabel Perhitungan Parameter Statistik

Tahun	Xi (mm)	__ (Xi – X )2
2004	134	954,81
2005	173	65,61
2006	241	5791,21
2007	131	1149,21
2008	121	1927,21
2009	126	1513,21
2010	106	3469,21
2011	138	723,61
2012	234	4774,81
2013	245	6416,01
Σ	1649	26784,9
Rata-rata	164,9
Stand dev		54,55

                                      __        

*) Hitung nilai rata-rata  ( X )

__                

 X = Σ (Xi) 

       ______

          n

           =   1649

              ________

                    10

          = 164,9

*) Hitung Deviasi Standar (S)

                                                 

                    _   ^{0,5                              0,5}

S =  Σ( Xi – X)²       =   26784,9  

       _______             _______          (bentuk akar bisa disederhanakan menjadi  X ^0,5)

         10 -1                       9

                                = 54,55

*) Hitung Faktor Frekuensi (K) dan Hujan Rencana (X_T)

Dengan jumlah data (n) = 10 maka didapat nilai Sn dan Yn yang diambil dari lampiran :

Sn	0,9497
Yn	0,4952

Nilai Yt yang diambil lampiran

Periode Ulang T (tahun)	Yt
2	0,3065
5	1,4999
20	2,9702
50	3,9019
100	4,6001

Lalu kemudian hitung hujan rencana untuk periode ulang 2 tahun, 5, 20, 50 dan 100 tahun dengan Y_t untuk masing-masing periode ulang dan hasil perhitungannya tertera dalam tabel di bawah ini;

Tabel Perhitungan Hujan Rencana dengan Distribusi Probabilitas Gumbel

Periode Ulang T (tahun)	Yt	K (Faktor Frekuensi) K =    Yt – Yn            _____               Sn	Hujan Rencana (mm)                    ___          XT =   X  + (S x K)
2	0,3065	-0,1986	154,06
5	1,4999	1,0579	222,61
20	2,9702	2,6060	307,07
50	3,9019	3,5871	360,59
100	4,6001	4,3223	400,69

Rekap Hasil Perhitungan Hujan Rencana Untuk Empat Metode yang Dipakai

Periode Ulang	Hujan Rencana (mm)
	Gumbel	Normal	Log Normal	Log Pearson Type III
1	2	3	4	5
X2 tahun	154,06	164,9	157,43	156,53
X5 tahun	222,61	210,72	205,11	204,92
X20 tahun	307,07	254,36	264,00	267,73
X50 tahun	360,59	276,72	295,12	305,91
X100 tahun	400,69	292,00	328,15	335,50

              

Sumber Pustaka  :

Kamiana, I Made. 2001. Teknik Perhitungan Debit Rencana Bangunan Air. Graha Ilmu. Yogyakarta